華東師大科研團隊首次揭示呼吸子飛秒激光器中的分形動力學

近日，華東師范大學精密光譜科學與技術國家重點實驗室曾和平教授課題組在激光領域取得重要進展，該團隊首次揭示了呼吸子超快激光器中的分形動力學。研究成果“Farey tree and devil’s staircase of frequency-locked breathers in ultrafast lasers”于2022年10月發表于Nature Communications上。曾和平教授和彭俊松研究員為論文的共同通訊作者，博士生吳修齊和張穎分別為論文的第一、第二作者。合作者包括英國阿斯頓大學的S.Boscolo博士和法國勃艮第大學的C.Finot教授。

“分形”一詞由數學家Benoit Mandelbrot在1975年首次提出，并由此誕生了一門新的學科-分形幾何學。Mandelbrot將分形定義為“分形是局部和整體以某種方式相似的形狀”。分形在自然界中的一個典型例子是西蘭花，西蘭花每一個分支和整體的形狀都是相似的。雖然分形最初只是一個數學概念，但已經在眾多系統中被觀察到，例如材料學、生物學、神經學、電路、網絡、地理和股票價格波動等。2000年，光學孤子和分形之間的聯系在理論上被建立起來（Phys. Rev. Lett. 84, 1902， 2000)。由于光孤子較為穩定，將其“分形”為多個分支需要對傳輸介質（例如光纖）的物理性質進行多次改變，且需要在多個位置對光孤子進行探測。這些條件在實驗上很難實現，相關實驗幾乎無法開展。

曾和平教授團隊另辟蹊徑，提出并證明了激光器中的呼吸孤子(或呼吸子)可構成分形。呼吸子是參數周期性變化的局域化波包。由于呼吸子與湍流、混沌、極端事件、調制不穩定性等非線性現象密切相關，獲得了學界的廣泛關注。該工作首次將呼吸子和分形聯系起來。研究發現呼吸頻率(呼吸子演化周期的倒數)與激光器重復頻率(由激光器長度決定)的比值隨著光強的變化會出現一系列平臺（階梯）。平臺的出現表明此時該比值是個常數。這些平臺對應的數值展現出經典的分形結構-法里樹。該分形結構被稱為魔鬼階梯是因為其分形維度的大小和魔鬼階梯一致，均為0.87。平臺上對應的呼吸子被稱為頻率鎖定呼吸子，因為其呼吸頻率自發地鎖在激光器重復頻率上，在外界擾動下保持不變。其頻率穩定性比沒有鎖定的呼吸子高3000倍左右！

分形呼吸子的另一個特點是可以產生不受激光器腔長限制的密集頻率梳。例如，該工作展示了該激光器出射的激光的梳齒密度比相同腔長的激光器大幅增加了41倍，從而實現了亞兆赫茲間距的頻率梳。普通激光器要實現亞兆赫茲的梳齒間距，需要百米量級的腔長，因此很不穩定。由此可見，基于分形的呼吸子激光器作為替代方案有很強的吸引力。

該圖形象地說明了飛秒光纖激光器中產生的呼吸子實際上是一種分形結構-法里樹。進一步研究表明該法里樹的維度和魔鬼階梯一致。

該工作表明呼吸子激光器可作為一個簡單的非線性系統來研究分形動力學。由于呼吸子的普遍性(微腔、BEC、流體力學等)，該工作有望激發分形在相關物理系統中的研究，分形為理解這些系統中的復雜動力學提供了一個全新的視角。更廣泛地來看，描述飛秒激光器的物理模型是非線性薛定諤方程，該方程具有很強的普適性。這項工作通過實驗和理論發現的非線性薛定諤方程的分形解，也將在相關的物理系統中獲得關注。

近年來，曾和平教授團隊在呼吸子超快激光領域做了系統性工作。提出并證實了呼吸子超快激光,包括連續呼吸子（Sci.Adv.5 eaax1110 2019）和分立呼吸子（Phys.Rev.Appl.11 044068 2019）;利用AI技術實現了其智能調控（Laser & Photon.Rev.2100191 2021）；揭示了呼吸子爆炸動力學（Phys.Rev.Appl.12 034052 2019）及呼吸子多體相互作用（Laser & Photon.Rev.2000132 2021）。這項工作得到了科技部、國家自然科學基金委、上海市科委和重慶市科委的資助。

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